Factoriser - Factoriser avec une identité remarquable

Tout d’abord il faut apprendre les 3 identités remarquables dans ce sens :

(a)^2 + 2 *(a)*(b) + (b)^2 = (a + b)^2

(a)^2 - 2 *(a)*(b) + (b)^2 = (a - b)^2

(a)^2 - (b)^2 = (a - b)(a + b)

Exemple : 9x^2 - 49 = (3x)^2 - (7)^2

= (3x - 7)(3x + 7)

Méthode pour factoriser avec une identité remarquable et réussir sa factorisation à tous les coups :

1)Compter le nombre de termes (un terme est un « truc » séparé par un signe + ou - ) :

ex : dans 9x^2 - 49 il y 2 termes

2)S’il y a 2 termes, vérifier s’il n’y a pas une différence de carrés (sinon, aller au 5à):

ex : dans 9x^2 - 49 il y 2 termes et on peut faire apparaître 2 carrés :

On écrit : 9x^2 - 49 = ( )^2 - ( )^2

Puis on remplit les parenthèses pour que l’égalité soit vraie :

9x^2 - 49 = (3x)^2 - (7)^2

Ici : a = 3x et b = 7

4) On applique (truc)^2 - (autre truc)^2 = (premier - deuxième)(premier + deuxième) :

9x^2 - 49 = (3x)^2 - (7)^2

= (3x - 7)(3x + 7)

La factorisation est réussie : on a transformé la somme en produit

5) S’il y a 3 termes, vérifier s’il y a des carrés aux extrémités :

ex : dans x^2 - 18x + 81 il y a bien 2 carrés aux extrémités : x^2 et 81 = (9)^2

6) Identifier a et b puis, vérifier si on a bien le «double produit» au milieu :

dans x^2 - 18x + 81, a = x et b = 9

x^2 - 18x + 81 = (x)^2 - 2(x)*(9) + (9)^2

attention : 2(x)*(9) = 18x on a bien au milieu le «double produit»

mais s’il y avait eu 17x au milieu, on n’aurait pas pu factoriser

7) On applique la formule (premier - deuxième)^2 ou (premier + deuxième)^2

x^2 - 18x + 81 = (x)^2 - 2(x)*(9) + (9)^2

= (x + 9)^2

La factorisation est réussie, on peut vérifier le résultat en développant le résultat obtenu.

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