Factoriser

Factoriser un polynôme

du second degré

 
factoriser

Tout d’abord il faut connaître les formules :


Delta (ou discriminant) = b^2 - 4ac


Si delta est strictement positif :

puis : x1 = (-b-racine(delta))/(2a)

et  : x2  = (-b+racine(delta))/(2a)


ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)



Si delta = 0,

les deux formules donnent la même valeur :

x0 = -b/(2a)


ax^2 + bx + c = a(x - x0)^2



Si delta est strictement négatif, le polynôme n’est pas factorisable

     


Méthode pour factoriser avec un polynôme du second degré et réussir sa factorisation à tous les coups :


  1. 1)Calculer delta :


ex :  3x^2 - 5x + 2


a = 3 ; b = -5 et c = 2


                                                                     Delta = b^2 - 4ac

                                                                               = (-5)^2 - 4*3*2

                                                                               = 25 - 24

                                                                               = 1 strictement positif


  1. 2)Si delta est strictement positif, calculer x1 et x2 (sinon, aller au 4):


                                             Dans l’exemple : x1 = (-b-racine(delta))/(2a)

                                                                                = (5 - racine(1))/(2*3)

                                                                                = (5 - 1)/6

                                                                                = 4/6

                                                                                = 2/3


                                                                     x2      = (-b+racine(delta))/(2a)

                                                                               = (5 + racine(1))/(2*3)

                                                                               = (5 + 1)/6

                                                                               = 6/6

                                                                               = 1


  1. 3)Appliquer la formule : ax^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)


                                                Ici : 3x^2 - 5x + 2 = a(x - x1)(x - x2)

                                                                             = 3(x - 2/3)(x - 1)


On a transformé une somme en produit : la factorisation est réussie, on peut vérifier le résultat en développant.



4) Si delta = 0, on fait la même chose mais avec la formule ax^2 + bx + c = a(x - x0)^2 :


ex :  3x^2 - 12x + 12


a = 3 ; b = -12 et c = 12


                                                                     Delta = b^2 - 4ac

                                                                               = (-12)^2 - 4*3*(12)

                                                                               = 144 - 144

                                                                               = 0 delta est nul


                                                                Donc x0 = (-b)/(2a)

                                                                               = (12)/(2*3)

                                                                               = 12/6

                                                                               = 2


On applique la formule :


                                                    3x^2 - 12x + 12 = a(x - x0)^2

                                                                              = 3(x - 2)^2


On a transformé une somme en produit : la factorisation est réussie, on peut vérifier le résultat en développant.



5) Si delta est strictement négatif : il n’existe pas de factorisation




Si vous avez la moindre question, n’hésitez pas à me contacter : www.prof-de-maths.fr